Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2bx+4．當(dāng)a=

1

4

時(shí)，若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論①當(dāng)a=0時(shí)②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)③當(dāng)a=

1

2

時(shí)④當(dāng)a＜0時(shí)，⑤當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，⑥當(dāng)a≥1時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出f(x1)≥f(1)=-

1

2

，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），從而-

1

2

≥g(x2)的最小值，求出b的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，由f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

a

-1．此時(shí)

1

a

-1＞1＞0，
列表如下：

由表格可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，

1

a

-1）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁=x₂，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
④當(dāng)a＜0時(shí)，由于

1

a

-1＜0，則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
⑤當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x+a-1＞0，解得：

1

a

-1＜x＜1，
此時(shí)f（x）在（

1

a

-1，1）遞增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）遞減；
⑥當(dāng)a≥1時(shí)，由于

1

a

-1≤0，令f′（x）＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得：0＜x＜1，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，

1

a

-1）上單調(diào)遞增．
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在（

1

a

-1，1）遞增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）遞減；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，
所以對(duì)任意x₁∈（0，2），有f(x1)≥f(1)=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以-

1

2

≥g(x2)的最小值，最后答案為b＞

17

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道綜合題．