Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，0）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)a≥0時，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a＜0時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值f（$\frac{2}{a}$）＞0，解出即可．

解答 解：當(dāng)a=0時，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（ $\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，
不符合條件：f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＜0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＜0，列表如下：

x	（-∞，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（ $\frac{2}{a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，∴極小值f（ $\frac{2}{a}$）=a（ $\frac{2}{a}$）³-3（ $\frac{2}{a}$）²+1＞0，
化為a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．