Question

已知f(x)=

3

sin4x+(sinx+cosx)2-

3

cos4x
（Ⅰ）求f（x）的最小值及取最小值時(shí)x的集合；
（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，

π

2

]時(shí)的值域；
（Ⅲ）在給出的直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)畫出f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的圖象（要求列表描點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小值及取最小值時(shí)x的集合；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，由此可求函數(shù)的值域；
（Ⅲ）利用五點(diǎn)作圖法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sin4x+(sinx+cosx)2-

3

cos4x=-

3

cos2x+sin2x+1
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1（4分）
∴函數(shù)的最小值為-1，x的集合為{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴f(x)∈[-

3

+1，3]（9分）
（Ⅲ）由 f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1知

2x- π 3	- 4π 3	-π	- π 2	0	π 2	2π 3
x	- π 2	- π 3	- π 12	π 6	5π 12	π 2
f（x）	- 3 +1	1	-1	1	3	3 +1

（11分）
故f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的圖象如圖所示．
（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的值域，考查三角函數(shù)圖象的畫法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．