Question

已知P是⊙O：x²+y²=1上一動點，線段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一條動直徑（A，B是直徑的兩端點），則

PA

•

PB

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應用,直線與圓的位置關系,直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：設出P、A、B坐標，求出兩個向量，然后計算數(shù)量積，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解表達式的最值即可．

解答： 解：P是⊙O：x²+y²=1上一動點，設P（cosα，sinα），
線段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一條動直徑（A，B是直徑的兩端點），
設A（3+cosθ，4+sinθ），則B（3-cosθ，4-sinθ），
∴

PA

=(3+cosθ-cosα，4+sinθ-sinα)，

PB

=(3-cosθ-cosα，4-sinθ-sinα)，

PA

•

PB

=(3+cosθ-cosα，4+sinθ-sinα)•(3-cosθ-cosα，4-sinθ-sinα)
=25-6cosα-8sinα
=25-10sin（α+β），tanβ=

3

4

．
又sin（α+β）∈[-1，1]，
∴

PA

•

PB

∈[15，35]．
故答案為：[15，35]．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，參數(shù)方程的應用，兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．