Question

13．設(shè)P，Q分別為直線$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=6-2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）和曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}cosθ\\ y=-2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的點(diǎn)，則|PQ|的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 將直線$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=6-2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）和曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}cosθ\\ y=-2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為普通方程，利用圓心到直線的距離d減去半徑r，可得|PQ|的最小值．

解答 解：由題意，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}cosθ\\ y=-2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$，消去參數(shù)θ：
可得曲線C的普通方程為：（x-1）²+（y+2）²=5．
直線$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=6-2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得直線的普通方程為：2x+y-6=0．
由曲線C的普通方程為：（x-1）²+（y+2）²=5．可知圓心為（1，-2），半徑r=$\sqrt{5}$．
那么：圓心到直線的距離d=$\frac{|2×1-2-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
可得|PQ|的最小值為：d-r=$\frac{6\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題．