Question

【題目】已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，且焦距為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)、與點(diǎn)不重合），且滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）已知條件有，從而易得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分類若直線斜率不存在，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得斜率；若線斜率存在，設(shè)，，直線：，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由得關(guān)系，再由已知用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，并代入及剛才的關(guān)系式，可把表示為的函數(shù)，從而可得其取值范圍．

（1）依題意，，，則，

解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由消去整理得，

解得或，此時(shí)，直線的斜率為；

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)，，直線：，

由，消去整理得，

依題意，即，

且，，

又，所以

，

所以，即，解得滿足，

所以 ，故.

故直線的斜率 ，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

綜上，直線的斜率的取值范圍為.