已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,右焦點(diǎn)F(1,0).過點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線l,交橢圓G于A、B兩點(diǎn),M(2,0)是一個定點(diǎn).如圖所示,連AM、BM,分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)(不同于A、B),記直線CD的斜率為k1
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)在直線l的斜率k變化的過程中,是否存在一個常數(shù)λ,使得k1=λk恒成立?若存在,求出這個常數(shù)λ;若不存在,請說明理由.
分析:(I)由c2=a2-b2,及已知中c=1,
c
a
=
2
2
.求出a,b的值,可得橢圓G的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).聯(lián)立方程后,使用韋達(dá)定理,分別求出x3,y3,x4,y4.代入斜率公式,可得k1=-k.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)c2=a2-b2,由題意c=1,
c
a
=
2
2
.解得a=
2
,b=1.
∴橢圓G的方程為
x2
2
+y2=1
.                                            …(5分)
(Ⅱ)存在常數(shù)λ=-1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=k(x-1)
,可得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0
于是x1+x2=
4k2
1+2k2
,x1•x2=
2(k2-1)
1+2k2

直線AM的斜率t1=
y1
x1-2
,聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=t1(x-2)
,可得
1+2t12)x2-8t12x+2(4t12-1)=0
則x1•x3=
2(4t12-1)
1+2t12
,進(jìn)一步可得x3=
2(4t12-1)
(1+2t12)x1

將t1=
y1
x1-2
代入,則x3=
3x1-4
2x1-3

同理可得x4=
3x2-4
2x2-3

則y3=
-k(x1-1)
2x1-3
,y4=
-k(x2-1)
2x2-3

x32
2
+y32=1
,
x42
2
+y42=1
兩式相減可得,
k1=-k綜上可知,存在常數(shù)λ=-1.                                   …(15分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,聯(lián)立方程+韋達(dá)定理+設(shè)而不求,是解答此類問題的關(guān)鍵方法,但本題運(yùn)算量巨大,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,右焦點(diǎn)為 (2
2
,0).斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,且右頂點(diǎn)為A(2,0).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
2
2
,點(diǎn)F(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)過右焦點(diǎn)F作斜率為k的直線l與橢圓G交于M、N兩點(diǎn),若在x軸上存在著動點(diǎn)P(m,0),使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,試求出m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)一模)已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的離心率為
2
2
,⊙M過橢圓G的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn),圓心M在此橢圓上,則滿足條件的點(diǎn)M的個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•順義區(qū)二模)已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓G的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓G上,且△PF1F2的周長為4+4
2

(Ⅰ)求橢圓G的方程
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),若
OA
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:直線l與圓x2+y2=
8
3
相切.

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