Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），過其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于點(diǎn)A、B，|AF|=3|BF|，則|AB|=（　　）

• A． p
• B． $\frac{4}{3}p$
• C． 2p
• D． $\frac{8}{3}p$

Answer 1

分析 設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l′：x=-$\frac{p}{2}$．如圖所示，當(dāng)直線AB的傾斜角為銳角時(shí)，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足為M，N．過點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于|AF|=3|BF|=$\frac{3}{4}$|AB|，可得|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|，可得∠BAC=60°．由于AM∥x軸，可得∠BAC=∠AFx=60°．即可得到k_AB=tan60°=$\sqrt{3}$，當(dāng)直線AB的傾斜角為鈍角時(shí)，同理可得．

解答 解：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l′：x=-$\frac{p}{2}$．
如圖所示，
①當(dāng)直線AB的傾斜角為銳角時(shí)，
分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足為M，N．
過點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=$\frac{3}{4}$|AB|，
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$|AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x軸，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴k_AB=tan60°=$\sqrt{3}$，
直線方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），代入拋物線方程，可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（\frac{5p}{3}）^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{8}{3}$p，
②當(dāng)直線AB的傾斜角為鈍角時(shí)，可得k_AB=-$\sqrt{3}$．|AB|=$\frac{8}{3}$p
綜上可知：|AB|=$\frac{8}{3}$p，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、含60°角的直角三角形的性質(zhì)、直線的傾斜角與斜率、平行線的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．