Question

【題目】已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件；

（3）若對(duì)任意恒成立，證明：數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義可直接求得，從而可計(jì)算.

（2）先證明充分性，可根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到，從而可得，再證明必要性，先從可得，再根據(jù)可得，依次類推可以得到，從而得到數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列.

（3）當(dāng)時(shí)，我們得到，就全為零和不全為零分類討論即可.

（1）當(dāng)，數(shù)列是遞減數(shù)列，最大為，

又，

所以， ，所.

（2）充分性：數(shù)列單調(diào)遞增，則，

則，

所以.

必要性：對(duì)于數(shù)列， 即，

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，，，所以，

同理即數(shù)列單調(diào)遞增，

故“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件．

（3）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，

所以，

若設(shè)全為零，則，

時(shí)，故，其中任意的.

若不全為零，設(shè)諸中第一個(gè)為零的記為，

則中，即，

其中，所以，

因?yàn)?/span>，所以對(duì)任意的總成立，

所以，下面考慮，

因?yàn)?/span>即，

因?yàn)?/span>，所以，

故對(duì)任意的，總有，

則，因?yàn)?/span>，

所以，這與任意的，總有矛盾，

所以不全為零不成立，

所以，其中任意的.