Question

數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式是_______.

 

Answer 1

an=3n-1

【解析】【思路點撥】根據(jù)an和Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)換an+1=2Sn+1(n≥1)為an+1與an的關(guān)系或者Sn+1與Sn的關(guān)系.

解:方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).

又a2=2S1+1=3,

∴a2=3a1,故{an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,

∴an=3n-1.

方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,

an+1=2Sn+1,

所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,

把這個關(guān)系化為Sn+1+=3(Sn+),

即得數(shù)列{Sn+}為首項是S1+=,

公比是3的等比數(shù)列,故Sn+=×3n-1=×3n,

故Sn=×3n-.

所以,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-1,

由n=1時a1=1也適合這個公式,知所求的數(shù)列{an}的通項公式是an=3n-1.

【方法技巧】an和Sn關(guān)系的應(yīng)用技巧

在根據(jù)數(shù)列的通項an與前n項和的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式時,要考慮兩個方面,一個是根據(jù)Sn+1-Sn=an+1把數(shù)列中的和轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項之間的關(guān)系;一個是根據(jù)an+1=Sn+1-Sn把數(shù)列中的通項轉(zhuǎn)化為前n項和的關(guān)系,先求Sn再求an.