13.在某次水下科研考察活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),潛水員下潛的平均速度為v(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間的用氧量為${(\frac{v}{10})^3}+1$(升),在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間,每單位時(shí)間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為$\frac{v}{2}$(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為y(升).
(1)求y關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若c≤v≤15(c>0),求當(dāng)下潛速度v取什么值時(shí),總用氧量最少.

分析 (1)分別計(jì)算潛入水底用時(shí)、用氧量;水底作業(yè)時(shí)用氧量;返回水面用時(shí)、用氧量,即可得到總用氧量的函數(shù);
(2)利用基本不等式可得$v=10\root{3}{2}$,時(shí)取等號,再結(jié)合c≤v≤15(c>0),即可求得確定下潛速度v,使總的用氧量最少.

解答 解:(1)由題意,下潛用時(shí)$\frac{60}{v}$(單位時(shí)間),用氧量為$[{(\frac{v}{10})^3}+1]×\frac{60}{v}=\frac{{3{v^2}}}{50}+\frac{60}{v}$(升),
水底作業(yè)時(shí)的用氧量為10×0.9=9(升),返回水面用時(shí)$\frac{60}{{\frac{v}{2}}}=\frac{120}{v}$(單位時(shí)間),用氧量為$\frac{120}{v}×1.5=\frac{180}{v}$(升),
∴總用氧量$y=\frac{{3{v^2}}}{50}+\frac{240}{v}+9$(v>0).
(2)$y'=\frac{6v}{50}-\frac{240}{v^2}=\frac{{3({v^3}-2000)}}{{25{v^2}}}$,令y'=0得$v=10\root{3}{2}$,在$0<v<10\root{3}{2}$時(shí),y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,在$v>10\root{3}{2}$時(shí),y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)$c<10\root{3}{2}$時(shí),函數(shù)在$(0,10\root{3}{2})$上遞減,在$(10\root{3}{2},15)$上遞增,
∴此時(shí)$v=10\root{3}{2}$時(shí)用氧量最少.當(dāng)$c≥10\root{3}{2}$時(shí),[c,15]上遞增,此時(shí)v=c時(shí),總用氧量最少.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查基本不等式的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí),考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

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