Question

若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足

Sn+1

=

Sn

+1，其中首項(xiàng)a₁=1．
（1）求a₂，a₃及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，T_n表示數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和，若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別令n=2、3代入式子求出求a₂、a₃，再變形得

Sn+1

-

Sn

=1得到等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可求出S_n，再利用S_n與a_n的關(guān)系式求出a_n；
（2）由（1）求出b_n并裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n，代入λT_n＜n+8×（-1）ⁿ化簡，根據(jù)（-1）ⁿ分類討論，并分別利用基本不等式、數(shù)列的單調(diào)性求出式子的最小值，再求出λ的范圍．

解答： 解：（1）∵a₁=1，

Sn+1

=

Sn

+1，且a_n＞0，
令n=2得，

S2

=

S1

+1，解得a₃=3，
令n=3代入解得，a₅=5，
由題意可得

Sn+1

-

Sn

=1，
∴數(shù)列{

Sn

}是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+(n-1)×1=n，則Sn=n2，
當(dāng)n＞1時(shí)，
an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，
故a_n=2n-1                     …6分
（2）由（1）得，bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由題意得，對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則λ＜

(n+8)(2n+1)

n

對任意的n∈N^*恒成立，
∵

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17≥2

2n• 8 n

+17=25，
當(dāng)且僅當(dāng)2n=

8

n

時(shí)，即n=2時(shí)取等號，
此時(shí)λ滿足λ＜25，
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則λ＜

(n-8)(2n+1)

n

對任意的n∈N^*恒成立，
，∵

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15，且2n-

8

n

隨著n的增大而增大，
當(dāng)n=1時(shí)，2n-

8

n

取最小值是-6，
此時(shí)λ滿足λ＜-21，
綜上得，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ＜-21．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的前項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n的關(guān)系式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，基本不等式求最值，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想．