Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸.

（Ⅰ）求線段的長；

（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)和的動(dòng)直線交曲線于點(diǎn)和，交于點(diǎn)，若直線的斜率依次成等差數(shù)列，試問：是否過定點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）定點(diǎn).

【解析】試題分析：（I）根據(jù)拋物線的定義，有，，所以拋物線方程為，.利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的長為；（II）由題意可知的方程為，求得與交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，，聯(lián)立的方程和拋物線的方程，消去寫出根與系數(shù)關(guān)系.分別求出直線的斜率，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，化簡得，所以，故的方程為，即恒過定點(diǎn).

試題解析：

（I）由拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，

得，，

拋物線的方程為，

在第一象限的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，則，

故在點(diǎn)處的切線斜率為，切線的方程為，

令得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

故線段的長為2.

（II）恒過定點(diǎn)，理由如下：

由題意可知的方程為，因?yàn)?/span>與相交，故.

由，令，得，故.

設(shè)，，

由消去得：，

則，.

直線的斜率為，同理直線的斜率為，

直線的斜率為.

因?yàn)橹本�的斜率依次成等差數(shù)列，

所以.

即.

整理得：，

因?yàn)?/span>不經(jīng)過點(diǎn)，所以，

所以，即.

故的方程為，即恒過定點(diǎn)