19、已知函數(shù)f（x）對(duì)一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（3）若F（x）=af（x）+bx5+cx3+2x2+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）
分析：（1）用賦值法f（-1）
（2）用賦值法求f（1），f（-1），再對(duì)b賦值-1，就可得到關(guān)于f（-x）與f（x）的關(guān)系式．
（3）利用f（x）是奇函數(shù)可得F（x）-3-2x2也為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可求F（5）．
解答：解：（1）令a=b=0?f（0）=0f（0）+0f（0）=0?f（0）=0
（2）證明：令a=b=1?f（1）=0，令a=b=-1?f（1）=-2f（-1）?f（-1）=0
令b=-1?f（-a）=-f（a）+af（-1）=-f（a）?f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)；
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴F（x）-3-2x2=af（x）+bx5+cx3+dx也為奇函數(shù)，
∴F（-5）-3-2×（-5）2=-[F（5）-3-2×52]又因?yàn)镕（-5）=7，
∴F（5）=-F（-5）+106=99，
即：F（5）=99．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性及特殊值點(diǎn)，抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價(jià)值，可以考查類比猜測(cè)，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島一模）已知函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），且當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•綿陽一模）已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又?jǐn)?shù)列{an}滿足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)
（ II ）求f（an）的表達(dá)式；
（III）設(shè)bn=
1
2log2|f(an+1)
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若T2n+1-Tn≤
m
15
（其中m∈N*）對(duì)N∈N*恒成立，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•濱州一模）已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c=2
3
，f（C）=0，若向量
m
=（sinB，2）與向量
n
=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武清區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，設(shè)M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax2+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
1
2
≤a≤1
1
2
≤a≤1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R有f（x）+f（-x）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ln（x+1），則函數(shù)f（x）的大致圖象為（　�。�

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