Question

【題目】已知函數(shù)

(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若存在極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處切線方程的求法求出和可得；

（2）函數(shù)存在極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號(hào)，依據(jù)根的存在性定理，確定根所在區(qū)間即可求解.

(1)解：

，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；

(2)設(shè)，則，設(shè)，則

所以在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)?/span>，所以在上，，即

所以在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，，所以在上，，即

所以函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).

又是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

x	（0，）		(，+∞)
	-	0	+
	↘	極小值	↗

可知是的唯一極小值點(diǎn)，且

又是奇函數(shù)，所以函數(shù)必存在唯一極大值點(diǎn)，記為，且，

所以，所以成立.