Question

已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x），x∈[0，π]的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：無(wú)論m為何值，直線4x-y+m=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用倍角公式降冪后化簡(jiǎn)f（x），由周期求得ω，然后直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）在x∈[0，π]的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中化簡(jiǎn)的f（x）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的值域，由直線4x-y+m=0得斜率不在導(dǎo)函數(shù)的值域內(nèi)說(shuō)明無(wú)論m為何值，直線4x-y+m=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=sin2ωx+2cos²ωx=sin2ωx+cos2ωx+1=

2

sin(2ωx+

π

4

)+1．
∵f（x）的最小正周期為T(mén)=π，∴ω=1，
即f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

．
又∵x∈[0，π]，
∴k=0時(shí)，取x∈[0，

π

8

]；
k=1時(shí)，取x∈[

5π

8

，π]．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

8

]，[

5π

8

，π]；
（Ⅱ）證明：∵f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
∴f′(x)=2

2

cos(2x+

π

4

)，
∴f′(x)∈[-2

2

，2

2

]．
而直線4x-y+m=0的斜率為4∉[-2

2

，2

2

]，
∴在f（x）圖象上不存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，
即無(wú)論m取得何值，直線4x-y+m=0與函數(shù)y=f（x）的圖象相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)處的切線的斜率，是中檔題．