Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{{（2x-m）}^2}}}{2-x}$x∈（0，1]，它的一個極值點是x=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求m的值及f（x）在x∈（0，1]上的值域；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù) g（x）=e^x+$\sqrt{x}$-2x，求證：函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈（0，1]上沒有公共點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，利用極值點求出m．然后（1）當(dāng)m=1時，求出函數(shù)的值域；（2）當(dāng)m=7時，求解函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅱ）$g（x）={e^x}+\sqrt{x}-2x$，求出$g'（x）={e^x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-2$，設(shè)h（x）=e^x-（1+x），利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．

解答 （本題滿分15分）
解（Ⅰ）：令$f'（x）=\frac{{4（2x-m）（2-x）+{{（2x-m）}^2}}}{{{{（2-x）}^2}}}=0$，由題設(shè)，$x=\frac{1}{2}$滿足方程，由此解得：m=1或m=7．
（1）當(dāng)m=1時，分析可知：f（x）在$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$上是減函數(shù)；在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上是增函數(shù)；
由此可求得，故 當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[0，1]．
（2）當(dāng)m=7時，同樣可得：f（x）在$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$上是減函數(shù)；在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上是增函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[24，25]．
解（Ⅱ）$g（x）={e^x}+\sqrt{x}-2x$，所以$g'（x）={e^x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-2$，因為x∈（0，1]，所以$1+x≥2\sqrt{x}$，所以$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}≥\frac{1}{1+x}$（1），設(shè)h（x）=e^x-（1+x），則h'（x）=e^x-1，當(dāng)x∈（0，1]時，h'（x）=e^x-1＞0
即h（x）=e^x-（1+x）為增函數(shù)，故當(dāng)x∈[0，1]有h（x）＞h（0），即e^x-（1+x）＞0，
所以e^x＞（1+x）（2），由（1）（2）得，當(dāng)x∈（0，1]時，$g'（x）={e^x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-2≥（1+x）+\frac{1}{1+x}-2≥0$．
所以$g（x）={e^x}+\sqrt{x}-2x$在x∈（0，1]上為增函數(shù)，又因為g（x）在x=0處與x∈（0，1]圖象相連，故對于x∈（0，1]有g(shù)（x）＞g（0），即$g（x）={e^x}+\sqrt{x}-2x＞1$；
由（Ⅰ）知：（1）當(dāng)m=1時：$f（x）=\frac{{{{（2x-m）}^2}}}{2-x}$在x∈（0，1]上的值域為[0，1]，而$g（x）={e^x}+\sqrt{x}-2x＞1$；所以f（x）＜g（x），故函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈（0，1]上沒有公共點．
（2）當(dāng)m=7時，$f（x）=\frac{{{{（2x-m）}^2}}}{2-x}$在x∈（0，1]上的值域為[24，25]，由于x∈（0，1]，所以$g（x）={e^x}+\sqrt{x}-2x＜{e^x}+\sqrt{x}+2x≤e+1+2＜24$，所以f（x）＞g（x），故函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈（0，1]上也沒有公共點．
綜上所述，函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈（0，1]上沒有公共點．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．