Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x²+y²+4y-96=0，有下列結(jié)論：
①x+y的最小值為；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）與題中方程必有兩組不同的實(shí)數(shù)解；
③過(guò)點(diǎn)M（0，18）向題中方程所表示曲線(xiàn)作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則直線(xiàn)AB的方程為y=3；
④若x，y∈N^*，則xy的值為36或32．
以上結(jié)論正確的有________（用序號(hào)表示）

Answer 1

①③④
分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的參數(shù)方程，由x+y=-2+10sin（θ+45°）≥-2-10，故①正確．
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0表示過(guò)點(diǎn)（0，8）的直線(xiàn)系，而點(diǎn)（0，8）在圓的外部，故直線(xiàn)和圓可能相切、相離．
由圓的對(duì)稱(chēng)性、切線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求出點(diǎn)M到AB的距離為15，故AB的方程為 y=18-15=3．
利用圓x²+（y+2）²=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有（6，6），（8，4），從而得到x，y∈N^*時(shí)xy的值．
解答：方程x²+y²+4y-96=0 即 x²+（y+2）²=100，表示以（0，-2）為圓心，以10為半徑的圓．
令x=10cosθ，y=-2+10sinθ，有x+y=-2+10sin（θ+45°）≥-2-10，故①正確．
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R） 即 m（x-2y+16）-（2x+y-8）=0，表示過(guò)x-2y+16=0 與
2x+y-8=0交點(diǎn)（0，8）的直線(xiàn)系，而點(diǎn)（0，8）在圓的外部，故有的直線(xiàn)和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，有的直線(xiàn)和圓有一個(gè)交點(diǎn)，
有的直線(xiàn)和圓沒(méi)有有交點(diǎn)，故②不正確．
過(guò)點(diǎn)M（0，18）向題中方程所表示曲線(xiàn)作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，由圓的對(duì)稱(chēng)性、切線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，A，B關(guān)于y軸
對(duì)稱(chēng)．切線(xiàn)MA==10，MA 與y軸的夾角為30°，點(diǎn)M到AB的距離為MA•cos30°=15，
故AB的方程為 y=18-15=3，故③正確．
圓x²+（y+2）²=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有（6，6），（8，4），若x，y∈N^*，則xy的值為36或32，故④正確．
綜上，①③④正確
，故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查元的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)方程，直線(xiàn)系方程，切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算方法，判斷②不正確是解題的難點(diǎn)．