Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，再由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0，代入根與系數(shù)故選得答案．

解答： 解：將y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得
3x²-（ax+1）²=1，整理，
（a²-3）x²+2ax+2=0．
設(shè)交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x1+x2=-

2a

a2-3

，x1x2=

2

a2-3

，
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0
即(a2+1)•

2

a2-3

+a•(-

2a

a2-3

)+1=0．
解得：a=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問(wèn)題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，此題是中檔題．