Question

【題目】對(duì)任意，給定區(qū)間，設(shè)函數(shù)表示實(shí)數(shù)與所屬的給定區(qū)間內(nèi)唯一整數(shù)之差的絕對(duì)值.

（1）當(dāng)時(shí)，求出的解析式；時(shí)，寫(xiě)出絕對(duì)值符號(hào)表示的解析式；

（2）求，，判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)時(shí)，求方程的實(shí)根.（要求說(shuō)明理由，）

Answer 1

【答案】（1），；，；（2）是偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）實(shí)根為.

【解析】

（1）可知區(qū)間中唯一整數(shù)為，根據(jù)定義可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，同理可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；

（2）根據(jù)題中定義求得和的值，可得出，然后利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)為偶函數(shù)，即可得出結(jié)論；

（3）要求方程的根，即求的根，對(duì)分、、三種情況討論，去絕對(duì)值符號(hào)，即可求得方程根的個(gè)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，中唯一整數(shù)為，

由定義知，.

當(dāng)時(shí)，在中唯一整數(shù)為，

由定義知，；

（2），，，，下面判斷是偶函數(shù).

對(duì)任何，存在唯一，使得，則，

由可以得出，

即，

由（1）的結(jié)論，，即函數(shù)是偶函數(shù)；

（3），即，其中.

當(dāng)時(shí)，，所以方程沒(méi)有大于的實(shí)根；

容易驗(yàn)證為方程的實(shí)根.

當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的，方程變?yōu)?/span>，

設(shè)，

則，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，，

方程沒(méi)有滿足的實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，方程變?yōu)?/span>，

設(shè)，明顯函數(shù)為減函數(shù).

，

，則，所以，，

所以方程沒(méi)有滿足的實(shí)根.

綜上，若時(shí)，方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，實(shí)根為.