在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=
6
，M是CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1與A1M所成的角是（　�。�
分析：連接AC1，利用三角函數(shù)計(jì)算結(jié)合題中數(shù)據(jù)證出∠AC1A1=∠A1MC1，從而矩形AA1C1C中A1M⊥AC1．再利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出A1M⊥平面AB1C1，從而可得AB1⊥A1M，由此即可得到異面直線AB1與A1M所成的角．
解答：解：連接AC1
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=
6
，
∴A1C1=
3
BC=
3
，
Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1=
A1C1
MC1
=
3
6
2
=
2
；
Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1=
AA1
A1C1
=
6
3
=
2

∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1     
可得矩形AA1C1C中，A1M⊥AC1
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1C1，
∵A1M?面AA1C1，∴B1C1⊥A1M，
又AC1∩B1C1=C1，∴A1M⊥平面AB1C1
結(jié)合AB1?平面AB1C1，得到AB1⊥A1M，
即異面直線AB1與A1M所成的角是90°
故選：D
點(diǎn)評：本題在直三棱柱中求異面直線所成角的大小，著重考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大�。�
（Ⅲ）求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，AA′=
2
a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=a （a為常數(shù)）．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)確定一條直線，使該直線與直線CE垂直；
（Ⅱ）判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值．若是定值，求出這個(gè)三棱錐的體積；若不是定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲過點(diǎn)A′作一截面與平面AC'D平行，問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，寫出作法，并說明理由；
（2）求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值．

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