Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R），若函數(shù)g（x）有三個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（-∞，2]．

Answer 1

分析 做出f（x）的圖象，判斷f（x）=m的根的情況，根據(jù)g（x）=0的零點個數(shù)判斷m²+m+t=0的根的分布，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解出t的范圍．

解答 解：做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=m，g（x）=0，則m²+m+t=0，
由圖象可知當(dāng)m≥1時，f（x）=m有兩解，當(dāng)m＜1時，f（x）=m只有一解，
∵g（x）有三個零點，
∴m²+m+t=0在（-∞，1）和[1，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-4t＞0}\\{1+1+t≤0}\end{array}\right.$，解得t≤-2．
故答案為（-∞，2]．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．