Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+4a，x＞3}\\{2x+{a}^{2}，x≤3}\end{array}\right.$，其中a＞0，若f（x）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[7，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知y=3^x+4a，（x＞3）是增函數(shù)，其值域y＞27+4a，y=2x+a²（x≤3）也是增函數(shù)，其值域y≤9+a²．要使f（x）的值域?yàn)镽，只需9+a²≥27+4a即可，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+4a，x＞3}\\{2x+{a}^{2}，x≤3}\end{array}\right.$，其中a＞0，
令y₁=3^x+4a，（x＞3）是增函數(shù)，其值域y₁＞27+4a，
y₂=2x+a²（x≤3）也是增函數(shù)，其值域y₂≤9+a²．
要使f（x）的值域?yàn)镽，只需9+a²≥27+4a
解得：a≥7或a≤-3．
∵a＞0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[7，+∞）
故答案為：[7，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)值域的問題，抓住分段函數(shù)中的各段函數(shù)的單調(diào)性，求出值域是關(guān)鍵．屬于中檔題．