Question

【題目】已知函數(shù)，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若存在()，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；（3）證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，可得與的值，可得在處的切線方程；

（2）令，可得，對(duì)其分，進(jìn)行討論，可得的取值范圍及的單調(diào)區(qū)間；

（3）由（2）知，，且，可得關(guān)于的函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)可得其單調(diào)性，可得證明.

解：因?yàn)?/span>時(shí)，對(duì)恒成立，

所以定義域?yàn)?/span>，且，

（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，

所以在處的切線方程為：.

（2）令得，， （※）

①當(dāng)，即時(shí)，又，

所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，解得或，又，所以時(shí)，

由方程（※）解得，，，

當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，，的遞減區(qū)間是.

綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是.

（3）由（2）知，，且，

所以，

因?yàn)?/span>，，代入上式得

，

令，，

則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即證得.