【題目】已知拋物線,直線過焦點且與拋物線交于、兩點,當直線的傾斜角為30°時,.
(1)求拋物線方程.
(2)在平面直角坐標系中,是否存在定點,當直線繞旋轉(zhuǎn)時始終都滿足平分.若存在,求出的坐標,若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)存在,
【解析】
設、,
(1)根據(jù)拋物線方程,寫出焦點坐標,得出直線的方程,代入拋物線方程,根據(jù)弦長公式,列出等式,求解,即可得出結(jié)果;
(2)先由直線斜率不存在時,、關(guān)于軸對稱,易知點在軸上,不妨設為,設直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,得到,,再由平分,得到,即,化簡整理,進而可求出,即可得出結(jié)果.
設、,
(1)由題意知拋物線的焦點坐標為,
設直線的方程為:,代入整理得,
所以,
所以,因此,
故拋物線方程為;
(2)當直線斜率不存在時,、關(guān)于軸對稱,易知點在軸上,不妨設為,
設直線的方程為,聯(lián)立得,
所以,,
因為平分,
所以,即,所以,
因此,
即,即,解得.
故存在滿足平分,且坐標為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某區(qū)在2019年教師招聘考試中,參加、、、四個崗位的應聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下:
崗位 | 男性應聘人數(shù) | 男性錄用人數(shù) | 男性錄用比例 | 女性應聘人數(shù) | 女性錄用人數(shù) | 女性錄用比例 |
269 | 167 | 62% | 40 | 24 | 60% | |
217 | 69 | 32% | 386 | 121 | 31% | |
44 | 26 | 59% | 38 | 22 | 58% | |
3 | 2 | 67% | 3 | 2 | 67% | |
總計 | 533 | 264 | 50% | 467 | 169 | 36% |
(1)從表中所有應聘人員中隨機抽取1人,試估計此人被錄用的概率;
(2)將應聘崗位的男性教師記為,女性教師記為,現(xiàn)從應聘崗位的6人中隨機抽取2人.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)設為事件“抽取的2人性別不同”,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】已知橢圓:的離心率為,焦距為.
(1)求的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(點,均在第一象限),為坐標原點.
①證明:直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關(guān)于軸對稱,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)直線在矩陣所對應的變換下得到直線,求的方程.
(2)已知點是曲線(為參數(shù),)上一點,為坐標原點直線的傾斜角為,求點的坐標.
(3)求不等式的解集.
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【題目】如圖,在三梭柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,E,F分別為AB,A1B1的中點.
(1)求證:AF∥平面B1CE;
(2)若A1B1⊥,求證:平面B1CE⊥平面ABC.
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【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值.經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到該樣本的頻率分布直方圖,其中質(zhì)量指標值不大于1.50的莖葉圖如圖所示,以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在各區(qū)間內(nèi)的頻率代替相應區(qū)間的概率.
(1)求圖中,,的值;
(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(說明:①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表;②方差的計算只需列式正確);
(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的”的規(guī)定?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,設函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在整數(shù),對于任意,關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】α,β是兩個不重合的平面,在下列條件中,可判斷平面α,β平行的是( 。
A. m,n是平面內(nèi)兩條直線,且,
B. 內(nèi)不共線的三點到的距離相等
C. ,都垂直于平面
D. m,n是兩條異面直線,,,且,
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