3．已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，ABCD為矩形且PA=AB=2，AD=4，E為PD中點(diǎn)．
（I）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅱ）試問：在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使點(diǎn)F到平面AEC的距離等于1？若存在，請(qǐng)求出AF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析 （I）作EO⊥AD，則EO⊥平面ABCD，做OG⊥AC，連接EG，則EG⊥AC，∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，即可求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅱ）利用等體積方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）作EO⊥AD，則EO⊥平面ABCD，做OG⊥AC，連接EG，則EG⊥AC，
∴∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，
∵PA=2，E為PD中點(diǎn)，∴EO=1，OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠EGF=$\frac{OG}{EG}$=$\frac{2}{3}$；
∴二面角E-AC-D的余弦值為$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）設(shè)AF=x，則△AEC中，AC=2$\sqrt{5}$，EG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，∴S△AEC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{5}$=3，
由等體積可得$\frac{1}{3}×3×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×2×1$，∴x=3，
∴在線段AD上存在一點(diǎn)F，使點(diǎn)F到平面AEC的距離等于1，AF=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查三棱錐體積的計(jì)算，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知曲線C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）距離的最小值．

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11．已知A（-1，0），B（1，0），圓C：x2-2kx+y2+2y-3k2+15=0．
（Ⅰ）若過B點(diǎn)至少能作一條直線與圓C相切，求k的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$時(shí)，圓C上存在兩點(diǎn)P1，P2滿足∠APiB=90°（i=1，2），求|P1P2|的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+mlnx+1，其中m為常數(shù)．
（1）若m≥$\frac{1}{2}$，證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=lgx，h（x）=log3x，直線y=a（a＜0）與這三個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是x2＜x3＜x1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f′（1）=0，試證明：對(duì)任意x＞0，f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{{x}^{2}+x}$恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線交y軸于點(diǎn)A，若△PAF外接圓面積為4π，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知偶函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)（2，5），設(shè)g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極值，確定g（x）的單調(diào)區(qū)間．

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13．已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+$\frac{3a-6}{4}$-ax2），其中a∈R．
（1）如果a=0，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的取值范圍；
（2）如果$\frac{1}{2}$≤a≤1，求證：對(duì)任意的x∈[0，+∞），恒有f（x）＜0．

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