【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，已知第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為（ ）

A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108

【答案】C

【解析】

利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第行，然后令得到對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

n次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第行，

例如，系數(shù)分別為1,2,1，對應(yīng)楊輝三角形的第3行，

令，就可以求出該行的系數(shù)之和，

第1行為，第2行為，第3行為，以此類推，

即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為

若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4,…,可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，去除兩端“1”可得，則此數(shù)列前55項(xiàng)和為，所以第56項(xiàng)為第13行去除1的第一個(gè)數(shù),所以該數(shù)列前56項(xiàng)和為，故選C.

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【題目】一個(gè)口袋里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球,從口袋中任取個(gè)球.

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（2）其中恰有一個(gè)紅球,共有多少種不同的取法?

（3）其中不含紅球,共有多少種不同的取法?

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【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+mx（m為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng) 時(shí)，設(shè) 的兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2）恰為h（x）=2lnx﹣ax﹣x2的零點(diǎn)，求 的最小值．

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【題目】為了參加某運(yùn)動(dòng)會(huì),從四支較強(qiáng)的排球隊(duì)中選出18人組成女子排球國家隊(duì),隊(duì)員來源人數(shù)如下表:

隊(duì)別

北京

上海

天津

八一

人數(shù)

4

6

3

5

(1)從這18名隊(duì)員中隨機(jī)選出兩名,求兩人來自同一隊(duì)的概率;

(2)若要求選出兩名隊(duì)員擔(dān)任正副隊(duì)長,設(shè)其中來自北京隊(duì)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大�。�

（3）求證：

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【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ=λBB1（λ≠0）．
（1）若 ，求AP與AQ所成角的余弦值；
（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)λ的值．

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【題目】已知以點(diǎn)為圓心的圓被直線：截得的弦長為.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求過與圓相切的直線方程；

（3）若是軸的動(dòng)點(diǎn)，，分別切圓于，兩點(diǎn).試問：直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出恒過點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.

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【題目】根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

組別

PM2.5濃度
（微克/立方米）

頻數(shù)（天）

頻率

第一組

（0，25]

3

0.15

第二組

（25，50]

12

0.6

第三組

（50，75]

3

0.15

第四組

（75，100]

2

0.1


（1）將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖． ①求圖4中a的值；
②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．
（2）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】某校100名學(xué)生期末考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是.

(1)若成績在的學(xué)生中男生比女生多一人，從成績在的學(xué)生中任選2人，求此2人都是男生的概率；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分.

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