Question

如圖在邊長為1正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標系Oxyz，
（I）若點P在線段BD₁上，且滿足3|BP|=|BD₁|，試寫出點P的坐標并寫出P關于縱坐標軸y軸的對稱點P′的坐標；
（Ⅱ）在線段C₁D上找一點M，使得點M到點P的距離最小，求出點M的坐標．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間向量及應用

分析：（I）由題意知P的坐標為（

2

3

，

2

3

，

1

3

），由此能求出P關于縱坐標軸y軸的對稱點P′的坐標．
（Ⅱ）設線段C₁D上找一點M坐標為（0，m，m），則有|MP|=

( 2 3 )2+(m- 2 3 )2+(m- 1 3 )2

=

2(m- 1 2 )2+ 1 2

，由此能求出M．

解答： 解：（I）由題意知P的坐標為（

2

3

，

2

3

，

1

3

），…（2分）
P關于縱坐標軸y軸的對稱點P′的坐標為（-

2

3

，

2

3

，-

1

3

）．…（5分）
（Ⅱ）設線段C₁D上找一點M坐標為（0，m，m），
則有|MP|=

( 2 3 )2+(m- 2 3 )2+(m- 1 3 )2

=

2m2-2m+1

=

2(m- 1 2 )2+ 1 2

，
當m=

1

2

時，|MP|取到最小值，
∴點為M（0，

1

2

，

1

2

）．…（12分）

點評：本題考查空間中點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意配方法的合理運用．