Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與圓（x-3）²+y²=9相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2，則該雙曲線的離心率為3．

Answer 1

分析 雙曲線的漸近線方程為：bx-ay=0，取AB中點(diǎn)為M，圓心C到M的距離丨CM丨=2$\sqrt{2}$，$\frac{a}$=tan∠BAC=2$\sqrt{2}$，雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意知，雙曲線過第一、三象限的漸近線方程為bx-ay=0，取AB中點(diǎn)為M，如圖所示，

由勾股定理，可知圓心C（3，0），到M的距離丨CM丨=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{a}$=tan∠BAC=2$\sqrt{2}$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+8}$=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查勾股定理的應(yīng)用及雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．