Question

【題目】2019超長“三伏”來襲，雖然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但隨著氣溫的不斷攀升，仍然無法阻擋冷飲品銷量的暴增.現(xiàn)在，某知名冷飲品銷售公司通過隨機(jī)抽樣的方式，得到其100家加盟超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

組別(單位：百元）
頻數(shù)	3	11	20	27	26	13

(1)由頻數(shù)分布表大致可以認(rèn)為，被抽查超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價，μ近似為這100家超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用正態(tài)分布，求；

(2)在(1)的條件下，該公司為增加銷售額，特別為這100家超市制定如下抽獎方案：

①令m表示“超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價超過μ的百分點(diǎn)”，其中.若，則該超市獲得1次抽獎機(jī)會；，則該超市獲得2次抽獎機(jī)會；，則該超市獲得3次抽獎機(jī)會；，則該超市獲得4次抽獎機(jī)會；，則該超市獲得5次抽獎機(jī)會；，則該超市獲得6次抽獎機(jī)會.另外，規(guī)定3天內(nèi)進(jìn)貨總價低于μ的超市沒有抽獎機(jī)會；

②每次抽獎中獎獲得的獎金金額為1000元，每次抽獎中獎的概率為.

設(shè)超市A參加了抽查，且超市A在3天內(nèi)進(jìn)貨總價百元.記X（單位：元)表示超市A獲得的獎金總額，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）利用頻數(shù)分布表，計(jì)算出平均數(shù)，根據(jù)題目所給參考數(shù)據(jù)求得，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性以及題目所給參考數(shù)據(jù)，求得指定區(qū)間的概率.（2）先計(jì)算出的值，由此確定抽獎次數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，結(jié)合抽獎中獎獲得的獎金金額求得分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：（1）由題意得

，因?yàn)?/span>，

所以，

，

所以，，

，

所以，，

（2）因?yàn)?/span>，所以，

所以，超市A獲得4次抽獎機(jī)會，

從而，X的可能取值為0，1000，2000，3000，4000，

又因?yàn)槊看纬楠劜恢械母怕蕿?/span>，所以

，，，

，.

所以，X的分布列為

X	0	1000	2000	3000	4000
P

所以，X的數(shù)學(xué)期望為元.