Question

已知函數(shù)（）.
（Ⅰ）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若，且關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足，（），求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析

解析試題分析：（Ⅰ）求出的定義域及導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增知，≥0在定義域內(nèi)恒成立，通過(guò)參變分離化為在定義域內(nèi)恒成立，求出的最小值，即≤即為的取值范圍；（Ⅱ）先將關(guān)于的方程在[1,4]上恰有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為方程 =在[1,4]上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)y=（x∈[1,4]）圖像與y=b恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)研究函數(shù)y=（x∈[1,4]）的單調(diào)性、極值、最值及圖像，結(jié)合y=（x∈[1,4]）的圖像，找出y=（x∈[1,4]）與y=b恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)b的取值范圍，即為所求;（Ⅲ）利用（x≠1），將放縮為即，通過(guò)累積，求出的范圍，即為所證不等式.
試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a5/5d/a5a5da944872a5d1d2ae54fba011a25c.png" style="vertical-align:middle;" />，
，依題意在時(shí)恒成立，
則在時(shí)恒成立，即，
當(dāng)時(shí)，取最小值-1，所以的取值范圍是  4分
（Ⅱ），由得在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)
，時(shí)，，時(shí)，
，，
，得
則  8分
（Ⅲ）易證當(dāng)且時(shí)，.
由已知條件，
故所以當(dāng)時(shí)，