已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小．
（2）求cos2A+cos2B的取值范圍．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：解三角形
分析：（1）利用正弦定理以及余弦定理求出角C的余弦函數(shù)值，然后求出C的大�。�
（2）利用三角形的內(nèi)角和，通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可求cos2A+cos2B的取值范圍．
解答： 解：（1）由正弦定理可知（a-c）（a+c）=（a-b）b              …（2分）
即a2+b2-c2=ab．
由余弦定理得 cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
              …（4分）
所以 C=
π
3
                                          …（5分）
（2）∵A+B=
2π
3
，故B=
2π
3
-A，
所以cos2A+cos2B=1+
1
2
cos2A+
1
2
cos（
4π
3
-2A）
=1-
3
4
sin2A+
1
4
cos2A=1+
1
2
sin(2A+
5π
6
)             …（8分）
因△ABC為銳角三角形，所以 
π
6
＜A＜
π
2

∴
7π
6
＜2A+
5π
6
＜
11π
6
                              …（10分）
∴-
1
2
≤
1
2
sin(2A+
5π
6
)＜-
1
4

∴cos2A+cos2B的取值范圍：[
1
2
，
3
4
）．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊．已知a=2
3
，A=
π
3
．
（Ⅰ）若b=2
2
，求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求邊b的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，過AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F作圓O的切線FG，G為切點(diǎn)，已知EF=FG．求證：
（Ⅰ）△DEF∽△EAF；
（Ⅱ）EF∥CB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且|PF1|•|PF2|的最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（1，m）在拋物線C：y2=2Px（P＞0）上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且|PF|=3．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)T（4，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（ⅰ）求
OA
•
OB
的值；
（ⅱ）若以A為圓心，|AT|為半徑的圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)，求△MNF的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1，
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和集合Q中任取一個(gè)數(shù)作為a和b的值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=-x2+（2m+2）x-（m2+4m-3），m為不小于0的整數(shù)，其圖象交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)A并與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為10，求一次函數(shù)的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C，直線CA交⊙O2于點(diǎn)D．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合時(shí)（如圖①），證明ED2=EB•EC；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直徑長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，∠BAC=90°，以AB為一邊向△ABC外作等邊△ABD，若∠BCD=2∠ACD，
AD
=λ
AB
+μ
AC
，則λ+μ=
 
．

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