Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A₁DE．若M為線段A₁C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中：
①|(zhì)BM|是定值；      
②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)；
③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A₁C；
④一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A₁DE．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則平面MBF∥平面A₁DE，可得④正確；由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，可得①②正確．A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，可得③不正確

解答 解：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF∥DA₁，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A₁DE，∴MB∥平面A₁DE，故④正確

由∠A₁DE=∠MFB，MF=$\frac{1}{2}$A₁D=定值，F(xiàn)B=DE=定值，
由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故①正確．
∵B是定點(diǎn)，∴M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，故②正確，
∵A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，
∴存在某個(gè)位置，使DE⊥A₁C不正確，故③不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理及線面角、二面角的定義及求法，難度中檔．