記平面內(nèi)與兩定點A1(-2,0),A2(2,0)連線的斜率之積等于常數(shù)m(其中m<0)的動點B的軌跡,加上A1,A2兩點所構(gòu)成的曲線為C
(I)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m的值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)m=時,過點F(1,0)且斜率為k(k#0)的直線l1交曲線C于M.N兩點,若弦MN的中點為P,過點P作直線l2交x軸于點Q,且滿足.試求的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)動點M(x,y),由條件可得mx2-y2=4m(x≠±2),對m分m<-1,m=-1,-1<m<0三種情況討論即可;
(Ⅱ)設(shè)出直線l1的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,確定|MN|、|PQ|,即可求得結(jié)論.
解答:解:(I)設(shè)動點B(x,y).
當(dāng)x≠±2時,由條件可得===m
即mx2-y2=4m(x≠±2).
又A1(-2,0)、A2(2,0)的坐標(biāo)滿足mx2-y2=4m.
當(dāng)m<-1時,曲線C的方程為+=1,曲線C是焦點在y軸上的橢圓;
當(dāng)m=-1時,曲線C的方程為x2+y2=4,曲線C是圓心在原點上的圓;
當(dāng)-1<m<0時,曲線C的方程為+=1,曲線C是焦點在x軸上的橢圓;
(Ⅱ)由(I)知,曲線C的方程為+=1.
依題意,直線l1的方程為y=k(x-1).
代入橢圓方程可得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則
由韋達(dá)定理得:x1+x2=-,x1x2=
∴弦MN的中點為P(
∴|MN|==
直線l2的方程為
由y=0,可得x=,則Q(,0),
∴|PQ|=
=
∵k2+1>1,∴0<<1

的取值范圍為(0,).
點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,著重考查圓錐曲線的軌跡問題,突出化歸思想、分類討論思想、方程思想的考查,綜合性強.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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(I)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m的值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)m=-
3
4
時,過點F(1,0)且斜率為k(k#0)的直線l1交曲線C于M.N兩點,若弦MN的中點為P,過點P作直線l2交x軸于點Q,且滿足
MN
PQ
=0
.試求
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PQ
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的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

記平面內(nèi)與兩定點A1(-2,0),A2(2,0)連線的斜率之積等于常數(shù)m(其中m<0)的動點B的軌跡,加上A1,A2兩點所構(gòu)成的曲線為C
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(Ⅱ)當(dāng)m=-
3
4
時,過點F(1,0)且斜率為k(k#0)的直線l1交曲線C于M.N兩點,若弦MN的中點為P,過點P作直線l2交x軸于點Q,且滿足
MN
PQ
=0
.試求
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的取值范圍.

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