【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣HKLE中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)F在線段AH上且,BE與底面ABCD所成角為.
(1)求證:AC⊥BE;
(2)M為線段BD上一點(diǎn),且,求異面直線AM與BF所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出DE⊥AC,AC⊥BD,從而AC⊥平面BDE.由此能證明AC⊥BE.
(2)推導(dǎo)出∠DBE為直線BE與平面ABCD所成的角,∠DBE,在DE上取一點(diǎn)G,使DGDE,連接FG,則四邊形FBCG為平行四邊形,BF∥CG,在BD上取一點(diǎn)N,使DN=BM,推導(dǎo)出AM∥CN,從而∠GCN(或其補(bǔ)角)為異面直線AM與BF所成的角,由余弦定理能求出異面直線AM與BF所成角的余弦值.
解:(1)證明:因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD﹣HKLE中,有DE⊥平面ABCD,
所以DE⊥AC,
因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
又BD∩DE=D,從而AC⊥平面BDE.
而BE平面BDE,
所以AC⊥BE.
(2)因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD﹣HKLE中,有BE與平面ABCD所成角為,
由(1)知∠DBE為直線BE與平面ABCD所成的角,
所以∠DBE,
所以.
由AD=3可知,
所以AH=3,
又2,
即AFAH,
故,
在DE上取一點(diǎn)G,使DGDE,
連接FG,
則在長(zhǎng)方體ABCD﹣HKLE中,有FG∥AD∥BC,
且FG=AD=BC,
所以四邊形FBCG為平行四邊形,
所以BF∥CG,
在BD上取一點(diǎn)N,使DN=BM,
因?yàn)?/span>BM,BD=3,
所以DN=BM,
所以在正方形ABCD中,ON=OM,
所以△CON≌△AOM,
所以∠CNO=∠
所以AM∥CN,
所以∠GCN(或其補(bǔ)角)為異面直線AM與BF所成的角,
在△GNC中,GC=BF,
在△AMB中,由余弦定理得AM,
則CN=AM,
又GN2,
在△GNC中,由余弦定理得:
cos∠GCN.
故異面直線AM與BF所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,,數(shù)列是等比數(shù)列,且,,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和;
(3)若對(duì)恒成立,求的最小值.
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【題目】2019新型冠狀病毒感染的肺炎的傳播有飛沫、氣溶膠、接觸等途徑,為了有效抗擊疫情,隔離性防護(hù)是一項(xiàng)具體有效措施.某市為有效防護(hù)疫情,宣傳居民盡可能不外出,鼓勵(lì)居民的生活必需品可在網(wǎng)上下單,商品由快遞業(yè)務(wù)公司統(tǒng)一配送(配送費(fèi)由政府補(bǔ)貼).快遞業(yè)務(wù)主要由甲公司與乙公司兩家快遞公司承接:“快遞員”的工資是“底薪+送件提成”.這兩家公司對(duì)“快遞員”的日工資方案為:甲公司規(guī)定快遞員每天底薪為70元,每送件一次提成1元;乙公司規(guī)定快遞員每天底薪為120元,每日前83件沒有提成,超過83件部分每件提成5元,假設(shè)同一公司的快遞員每天送件數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司往年忙季各隨機(jī)抽取一名快遞員并調(diào)取其100天的送件數(shù),得到如下條形圖:
(1)求乙公司的快遞員一日工資y(單位:元)與送件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系;
(2)若將頻率視為概率,回答下列問題:
①記甲公司的“快遞員”日工資為X(單位:元).求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②小王想到這兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞員”的工作,如果僅從日收入的角度考慮,請(qǐng)你利用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇,并說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若不等式恒成立,求的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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【題目】已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離為3,過拋物線外一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,且切點(diǎn)弦恒過點(diǎn).
(1)求和;
(2)求證:動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng).
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【題目】我國(guó)是世界嚴(yán)重缺水的國(guó)家,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超過的部分按議價(jià)收費(fèi),為了了解全市民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100位居民某年的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬,試估計(jì)全市有多少居民?并說明理由;
(Ⅱ)若該市政府?dāng)M采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為和之間選取7戶居民作為議價(jià)水費(fèi)價(jià)格聽證會(huì)的代表,并決定會(huì)后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎(jiǎng),設(shè)為用水量噸數(shù)在中的獲獎(jiǎng)的家庭數(shù),為用水量噸數(shù)在中的獲獎(jiǎng)家庭數(shù),記隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且.?dāng)?shù)列為非負(fù)的等比數(shù)列,且滿足,.
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,∥,,是等邊三角形,側(cè)面底面,,,,點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)設(shè)點(diǎn)是線段(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),若直線與底面所成的角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖已知,,、分別為、的中點(diǎn),將沿折起,得到四棱錐,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時(shí),的正視圖為直角三角形,求此時(shí)二面角的余弦值.
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