【題目】已知函數(shù).
(1)若,證明:對任意,存在,使得;
(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)先要明確“對任意,存在,使得”表示的是在上,的值域是的值域的子集,再求兩個函數(shù)的值域即可證明;
(2)由不等式恒成立,整理得,由于在上,,因此考慮用分離參變量的方法解答此題,然后構(gòu)造函數(shù),求的最大值即可.
(1)當(dāng)時,,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,即,
∴的值域為.
∴,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,即,
∴的值域為.
∵,
∴,
∴對任意,存在,使得.
(2)由得,
∵,∴,
整理得.
令,
則,
在上,,在上,,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,
故.
令,則.
令,則
,
在上,,在上,,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,
∴在上,,在上,,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,∴,
即實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為F,直線l與C交于M,N兩點.
(1)若l過點F,點M,N到直線y=2的距離分別為d1,d2,且,求l的方程;
(2)若點M的坐標(biāo)為(0,1),直線m過點M交C于另一點N′,當(dāng)直線l與m的斜率之和為2時,證明:直線NN′過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,如果方程有兩個不等實根,求實數(shù)t的取值范圍,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為,以極點為原點,極軸為軸非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度.
(Ⅰ)求該橢圓的直角標(biāo)方程,若橢圓上任一點坐標(biāo)為,求的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的兩條弦,交于點,且直線與的傾斜角互補,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高三理科班共有60名同學(xué)參加某次考試,從中隨機挑選出5名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績x與物理成績y如下表:
數(shù)據(jù)表明y與x之間有較強的線性關(guān)系.
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)該班一名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>110分,利用(1)中的回歸方程,估計該同學(xué)的物理成績;
(3)本次考試中,規(guī)定數(shù)學(xué)成績達到125分為優(yōu)秀,物理成績達到100分為優(yōu)秀.若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%,且除去抽走的5名同學(xué)外,剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有5人.能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù).
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列的前n項和,,,是數(shù)列的前n項和,.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前n項和為,若只存在2個正整數(shù)n滿足,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著共享單車的成功運營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨即抽取人對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進行了問卷調(diào)查,并對參與調(diào)查的人中的性別以及意見進行了分類,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
男 | 女 | 總計 | |
認(rèn)為共享產(chǎn)品對生活有益 | |||
認(rèn)為共享產(chǎn)品對生活無益 | |||
總計 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為對共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系?
(2)現(xiàn)按照分層抽樣從認(rèn)為共享產(chǎn)品增多對生活無益的人員中隨機抽取人,再從人中隨機抽取人贈送超市購物券作為答謝,求恰有人是女性的概率.
參與公式:
臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高三年級在開學(xué)時舉行了入學(xué)檢測.為了了解本年級學(xué)生寒假期間歷史的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)從年級名文科生中隨機抽取了名學(xué)生本次考試的歷史成績,得到他們歷史分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖.已知本次考試高三年級歷史成績分布區(qū)間為.
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這名學(xué)生歷史成績的平均分,眾數(shù);(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值作代表)
(3)已知該學(xué)校每年高考有%的同學(xué)歷史成績在一本線以上,用樣本估計總體的方法,請你估計本次入學(xué)檢測歷史學(xué)科劃定的一本線該為多少分?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn+2=2an,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn,設(shè)數(shù)列{bn}的前項和為Tn,若Tn,求n的最小值.
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