Question

14．已知在橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中，參數(shù)a，b都通過(guò)隨機(jī)程序在區(qū)間（0，t）上隨機(jī)選取，其中t＞0，則橢圓的離心率在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）之內(nèi)的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 不妨設(shè)a＞b，求出a，b滿(mǎn)足的條件，作出圖形，根據(jù)面積比得出答案．

解答 解：不妨設(shè)a＞b，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$＜1，
解得0＜$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$，即0＜$\frac{a}$＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜b＜$\frac{1}{2}$a，
作出圖象如下：

∴橢圓的離心率在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）之內(nèi)的概率為P=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OAB}}$=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，幾何概型的概率計(jì)算，屬于中檔題．