Question

已知命題P：在R上定義運(yùn)算?：x?y=（1-x）y．不等式x?（1-a）x＜1對任意實(shí)數(shù)x恒成立；命題Q：若不等式

x2+ax+6

x+1

≥2對任意的x∈N^*恒成立．若P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）由題意知，x?（1-a）x=（1-x）（1-a）x，若命題P為真，（1-a）x²-（1-a）x+1＞0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，對1-a分類討論：當(dāng)1-a=0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)1-a≠0時(shí)，

1-a＞0 △=(1-a)2-4(1-a)＜0

，解出即可．
（2）若命題Q為真，不等式

x2+ax+6

x+1

≥2對任意的x∈N^*恒成立，可得（x²+ax+6）≥2（x+1）對任意的x∈N^*恒成立，即a≥-(x+

4

x

)+2對任意的x∈N^*恒成立，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．由于P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，可得P，Q中必有一個真命題，一個假命題．

解答： 解：（1）由題意知，x?（1-a）x=（1-x）（1-a）x，
若命題P為真，（1-a）x²-（1-a）x+1＞0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴①當(dāng)1-a=0即a=1時(shí)，1＞0恒成立，∴a=1； 
②當(dāng)1-a≠0時(shí)，

1-a＞0 △=(1-a)2-4(1-a)＜0

，
∴-3＜a＜1，
綜合①②得，-3＜a≤1．
若命題Q為真，∵x＞0，∴x+1＞0，
則（x²+ax+6）≥2（x+1）對任意的x∈N^*恒成立，
即a≥-(x+

4

x

)+2對任意的x∈N^*恒成立，
令f(x)=-(x+

4

x

)+2，只需a≥f（x）_max，
∵f(x)≤-2

x• 4 x

+2=-4+2=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

4

x

(x∈N*)，即x=2時(shí)取“=”．
∴a≥-2．
∵P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，
∴P，Q中必有一個真命題，一個假命題．
若P為真Q為假，則

-3＜a≤1 a＜-2

，-3＜a＜-2，
若P為假Q(mào)為真，則

a≤-3或a＞1 a≥-2

，∴a＞1，
綜上可得a取值范圍：-3＜a＜-2或a＞1．

點(diǎn)評：本題考查了簡易邏輯的判定、不等式的解法、很殘酷問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論思想方法、基本不等式的性質(zhì)、不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．