Question

數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，前kn項和記為S_kn（n，k∈N^*），對給定的常數(shù)k，若

S(k+1)n

Skn

是與n無關(guān)的非零常數(shù)t=f（k），則稱該數(shù)列{a_n}是“k類和科比數(shù)列”．
（1）已知Sn=

4

3

an-

2

3

(n∈N*)，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，數(shù)列an=2cn，求證數(shù)列c_n是一個“1 類和科比數(shù)列”（4分）；
（3）設(shè)等差數(shù)列{b_n}是一個“k類和科比數(shù)列”，其中首項b₁，公差D，探究b₁與D的數(shù)量關(guān)系，并寫出相應(yīng)的常數(shù)t=f（k）．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1可以推導(dǎo)出數(shù)列a_n為等比數(shù)列，然后將a₁=2，q=4代入等比數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)（1）中求出的an的通項公式便可求出cn的通項公式為cn=2n-1，然后求出

S2n

Sn

為定值，便可證明數(shù)列c_n是一個“1 類和科比數(shù)列”；
（3）根據(jù)題中“k類和科比數(shù)列”的定義，將

S(k+1)n

Skn

=t便可求出D與b₁的關(guān)系，繼而可以求出常數(shù)t的表達(dá)式．

解答：解：（1）聯(lián)立：

Sn= 4 3 an- 2 3 Sn-1= 4 3 an-1- 2 3 (n≥2)

，
∴

4

3

an-

4

3

an-1=an，
∴

an

an-1

=4(n≥2)，
所以{a_n}是等比數(shù)列，
由 a1=

4

3

a1-

2

3

，得 a₁=2，
故 a_n=2•4^n-1 =2^2n-1 ．
（2）c_n=2n-1前n項的和S_n=n²（1分）
S_2n=4n² ，

S2n

Sn

=4，
所以數(shù)列{a_n}是一個“1類和科比數(shù)列”．
（3）對任意一個等差數(shù)列數(shù)列b_n，首項b₁，公差D，
Skn=knb1+

kn(kn-1)

2

D．
S(k+1)n=(k+1)nb1+

(k+1)n((k+1)n-1)

2

D，

S(k+1)n

Skn

=

(k+1)b1+ (k+1)((k+1)n-1) 2 D

kb1+ k(kn-1) 2 D

=t，對一切n∈N^*恒成立，
2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt對一切n∈N^*恒成立，
（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）對一切n∈N^*恒成立，
所以

(k2t-(k+1)2)D=0 (k+1-kt)(2b1-D)=0

，
D=2b₁ ，
所以t=(

k+1

k

)2．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．