Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2．

（ⅰ）求函數(shù)的解析式； （ⅱ）證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）因為

．

所以函數(shù)的最小正周期．

（Ⅱ）（Ⅰ）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個單位長度后得到的圖象．

又已知函數(shù)的最大值為，所以，解得．

所以．

（Ⅱ）要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，即．

由知，存在，使得．

由正弦函數(shù)的性質可知，當時，均有．

因為的周期為，

所以當（）時，均有．

因為對任意的整數(shù)，，

所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得．

亦即存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得．