【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的兩焦點(diǎn)與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）存在；實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【解析】

（1）設(shè)橢圓的頂點(diǎn)為P，則，又由，由結(jié)合橢圓的定義可得，結(jié)合可求橢圓的方程；

（2）存在直線l，使得成立.設(shè)直線l的方程為，由得.由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（1）設(shè)橢圓的頂點(diǎn)為P，

由兩焦點(diǎn)與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，

可得，

又右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.

，

，，，

橢圓的方程為：；

（2）存在直線l，使得成立.理由如下：

設(shè)直線l的方程為，

由得.

，化簡(jiǎn)得.

設(shè)，，則

，.

若成立，

即，等價(jià)于.

所以.

，

，

，

化簡(jiǎn)得.即，

代入中，，

解得.

又由，得，

從而，

解得或.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓方程為．

（1）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求的值；

（2）設(shè)直線和圓相切，和橢圓交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段、分別和圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面、E為的中點(diǎn)，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，（其中是的導(dǎo)數(shù)），求的最小值；

（2）設(shè)，若有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】節(jié)能環(huán)保日益受到人們的重視，水污染治理也已成為“十三五”規(guī)劃的重要議題．某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)、及的中點(diǎn)處，，，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與、等距離的一點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道、、．設(shè)∠BAO=x（弧度），排污管道的總長(zhǎng)度為．

（1）將表示為的函數(shù)；

（2）試確定點(diǎn)的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長(zhǎng)度最短，并求總長(zhǎng)度的最短公里數(shù)（精確到）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列和滿足：，，，且對(duì)一切，均有.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，問(wèn)：是否存在正整數(shù)，對(duì)一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在正三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所有的棱長(zhǎng)都為.

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路、，海岸邊界近似地看成一條曲線段.為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道，且直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段是函數(shù)圖像的一段，點(diǎn)M到、的距離分別為8千米和1千米，點(diǎn)N到的距離為10千米，點(diǎn)P到的距離為2千米.以、分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線段的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；

（2）求直線的方程，并求出公路的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】李克強(qiáng)總理在很多重大場(chǎng)合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”．某創(chuàng)客，白手起家，2015年一月初向銀行貸款十萬(wàn)元做創(chuàng)業(yè)資金，每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的．每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額（包括本金和利潤(rùn)）的，每月的生活費(fèi)等開支為3000元，余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營(yíng)．如此每月循環(huán)繼續(xù)．

（1）問(wèn)到2015年年底（按照12個(gè)月計(jì)算），該創(chuàng)客有余款多少元？（結(jié)果保留至整數(shù)元）

（2）如果銀行貸款的年利率為，問(wèn)該創(chuàng)客一年（12個(gè)月）能否還清銀行貸款？

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