【題目】已知函數(shù)f(x)=loga (a>0且a≠1)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)x∈(n,a﹣2)時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),求實(shí)數(shù)n,a的值.

【答案】
(1)解:根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=loga (a>0且a≠1)是奇函數(shù),

則有f(x)+f(﹣x)=0,

即loga +loga =0,

則有l(wèi)oga )( )=0,

即( )( )=1,

解可得:m=±1,

當(dāng)m=1時(shí),f(x)=loga ,沒(méi)有意義,

故m=﹣1


(2)解:由(1)可得:m=﹣1,即f(x)=loga ,

設(shè)x1>x2>1,

f(x1)﹣f(x2)=loga ﹣loga =loga =loga ),

又由x1>x2>1,

則0< <1,

當(dāng)a>1時(shí),f(x1)﹣f(x2)<0,則函數(shù)f(x)為減函數(shù),

當(dāng)0<a<1時(shí),f(x1)﹣f(x2)>0,則函數(shù)f(x)為增函數(shù)


(3)解:由(1)可得:m=﹣1,即f(x)=loga ,

其定義域?yàn)椋ī仭蓿?)∪(1,+∞),

當(dāng)n<a﹣2<﹣1時(shí),有0<a<1,

此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù),有 ,無(wú)解;

當(dāng)1<n<a﹣2時(shí),有a﹣2>1,即a>3,

此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù),有 ,解可得a=2+

故n=1,a=2+


【解析】(1)根據(jù)題意,由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f(x)+f(﹣x)=0,即loga +loga =0,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得( )( )=1,解可得m的值,驗(yàn)證即可得答案;(2)由(1)可得函數(shù)的解析式,設(shè)x1>x2>1,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得f(x1)﹣f(x2)=loga ),分a>1與0<a<1兩種情況討論f(x1)﹣f(x2)的符號(hào),綜合可得答案;(3)由(1)可得函數(shù)的解析式,進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的定義域,分n<a﹣2<﹣1和1<n<a﹣2兩種情況討論,求出a、n的值,即可得答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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