Question

【題目】如圖，在五棱錐P﹣ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面的射影落在線段AG上．
（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；
（Ⅱ）已知AB=2，BC= ，側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE= ，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BE中點(diǎn)F，連接AF，GF，由題意得A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線， 過點(diǎn)P作PO⊥AG于O，則PO⊥底面ABCDE
∵BE平面ABCDE，∴BE⊥PO，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE⊥AG
∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，
∵BE平面PBE，
∴平面PBE⊥平面APG．
解：（II）連接PF，
∵
又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，
∴PF⊥底面ABCDE．
∴O點(diǎn)與F點(diǎn)重合．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
底面ABCDE的一個(gè)法向量
∵ ，
∴ ，
設(shè)平面ABM的法向量 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，取 則 ，
∴ ，
∵二面角的法向量 分別指向二面角的內(nèi)外， 即為二面角的平面角，
∴cos＜ ＞ = = ．
∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BE中點(diǎn)F，連接AF，GF，由題意得A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，過點(diǎn)P作PO⊥AG于O，則PO⊥底面ABCDE，推導(dǎo)出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能證明平面PBE⊥平面APG．（II）連接PF，推導(dǎo)出O點(diǎn)與F點(diǎn)重合，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．