Question

1．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是$\frac{2}{{ρ}^{2}}$=1+sin²θ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）將曲線C變形為ρ²+ρ²sin²θ=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入即可得到所求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）令y=0，可得P（1，0），將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，求得t的兩解，由參數(shù)的幾何意義，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是$\frac{2}{{ρ}^{2}}$=1+sin²θ，
即為ρ²+ρ²sin²θ=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得x²+y²+y²=2，
即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
令y=0，可得t=0，x=1，即P（1，0），
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C：x²+2y²=2，可得：
1-$\sqrt{2}$t+$\frac{1}{2}$t²+2•$\frac{1}{2}$t²=2，
即為3t²-2$\sqrt{2}$t-2=0，
解得t₁=$\sqrt{2}$，t₂=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
由參數(shù)t的幾何意義可得，
$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{3}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，注意運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用參數(shù)的幾何意義，考查聯(lián)立方程解方程思想，屬于基礎(chǔ)題．