Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+$\frac{1}{2}$）+$\frac{2}{2x+1}$．
（1）若a=1，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為1？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）原題等價于f'（x）≥0在x∈（0，+∞）時恒成立，即8ax²+2a-4≥0恒成立，分離參數(shù)得$a≥\frac{2}{{4{x^2}+1}}$，只需求得函數(shù)$y=\frac{2}{{4{x^2}+1}}$在區(qū)間sin²θ+cos²θ=1值域即可；
（2）利用反證法假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則f（x）≥1在x∈（0，+∞）時恒成立，且可以取到等號，故f（1）≥1，即$ln（a+\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}≥1⇒ln（a+\frac{1}{2}）≥\frac{1}{3}＞0=ln1⇒a＞\frac{1}{2}$，利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)x²+y²=2的最小值，最后令最小值等于1，可求出參數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2a}{2ax+1}-\frac{4}{{{{（2x+1）}^2}}}=\frac{{8a{x^2}+2a-4}}{{（2ax+1）{{（2x+1）}^2}}}$，
由已知f'（x）≥0在x∈（0，+∞）時恒成立，
即8ax²+2a-4≥0恒成立，
分離參數(shù)得$a≥\frac{2}{{4{x^2}+1}}$，
因為x＞0，
所以$4{x^2}+1＞1⇒0＜\frac{2}{{4{x^2}+1}}＜2$，
所以正實數(shù)a的取值范圍為：a≥2；
（2）假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則f（x）≥1在x∈（0，+∞）時恒成立，且可以取到等號，
故f（1）≥1，即$ln（a+\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}≥1⇒ln（a+\frac{1}{2}）≥\frac{1}{3}＞0=ln1⇒a＞\frac{1}{2}$，
從而這樣的實數(shù)a必須為正實數(shù)，
當(dāng)a≥2時，由上面的討論知f（x）在（0，+∞）上遞增，
f（x）＞f（0）=2-ln2＞1，此時不合題意，
故這樣的a必須滿足0＜a＜2，此時：
令f'（x）＞0得f（x）的增區(qū)間為$（\sqrt{\frac{2-a}{4a}}，+∞）$
令f'（x）＜0得f（x）的減區(qū)間為$（0，\sqrt{\frac{2-a}{4a}}）$
故$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{\frac{2-a}{4a}}）=ln（a\sqrt{\frac{2-a}{4a}}+\frac{1}{2}）+\frac{2}{{2\sqrt{\frac{2-a}{4a}}+1}}=1$
整理得$ln（\frac{{\sqrt{2a-{a^2}}+1}}{2}）-\frac{{\sqrt{2-a}-\sqrt{a}}}{{\sqrt{2-a}+\sqrt{a}}}=0$
即$ln（\frac{{\sqrt{2a-{a^2}}+1}}{2}）-\frac{{\sqrt{2-2\sqrt{2a-{a^2}}}}}{{\sqrt{2+2\sqrt{2a-{a^2}}}}}=0$，設(shè)$t=\frac{{\sqrt{2a-{a^2}}+1}}{2}∈（\frac{1}{2}，1]$，
則上式即為$lnt-\sqrt{\frac{1}{t}-1}=0$，構(gòu)造$g（t）=lnt-\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，則等價于g（t）=0，
由于y=lnt為增函數(shù)，$y=\sqrt{\frac{1}{t}-1}$為減函數(shù)，故$g（t）=lnt-\sqrt{\frac{1}{t}-1}$為增函數(shù)，
觀察知g（1）=0，故g（t）=0等價于t=1，與之對應(yīng)的a=1，
綜上符合條件的實數(shù)a是存在的，且a=1．

點(diǎn)評 對恒成立與存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個函數(shù)（或參數(shù)大于某個函數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖象確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖象不易做，�；癁橐粋�函數(shù)存在一點(diǎn)在另一個函數(shù)上方，用圖象解；思路3：分類討論．