Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）-x²-ax-1在區(qū)間[0，3]的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-x²-ax-1，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后只需討論

a

2-a

與3的大小，從而分類討論求出函數(shù)g（x）=f（x）-x²-ax-1在區(qū)間[0，3]的最小值．

解答：本小題滿分（14分）
解：（Ⅰ）∵f′(x)=2(x+1)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

．（2分）
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
又∵f（x）定義域?yàn)椋?1，+∞），
∴所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）（5分）
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x²-ax-1
即g（x）=2x-ax-2ln（1+x），g′(x)=2-a-

2

x+1

=

(2-a)x-a

x+1

（7分）
令g'（x）=0由0＜a＜2及x＞-1，得x=

a

2-a

且當(dāng)x=

a

2-a

時(shí)f（x）取得極小值．（8分）
∵求f（x）在區(qū)間[0，3]上最小值
∴只需討論

a

2-a

與3的大小
①當(dāng)0＜a＜

3

2

時(shí)

a

2-a

＜3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g(

a

2-a

)=a-2ln

2

2-a

（10分）
②當(dāng)a=

3

2

時(shí)

a

2-a

=3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g(3)=

3

2

-4ln2（11分）
③當(dāng)a＞

3

2

時(shí)

a

2-a

＞3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g（3）=

3

2

-4ln2（13分）
所以，綜上可知當(dāng)0＜a＜

3

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為a-2ln

2

2-a

；
當(dāng)a≥

3

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為

3

2

-4ln2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，要學(xué)會(huì)分類討論，難度較大．