Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，3），與雙曲線 =1有相同的焦點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程；
（2）過A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則PQ是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：雙曲線 =1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3 ，0），（﹣3 ，0），

可得橢圓中的c=3 ，由橢圓過點(diǎn)A（0，3），可得b=3，

則a= =6，

則橢圓的方程為 + =1

（2）解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為﹣ ，

直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓x2+4y2﹣36=0，

可得（1+4k2）x2+24kx=0，

解得x1=﹣ ，y1=kx1+3= ，

即有P（﹣ ， ），

將上式中的k換為﹣ ，可得Q（ ， ），

則直線PQ的斜率為kPQ= = ，

直線PQ的方程為y﹣ = （x+ ），

可化為x（k2﹣1）﹣（5y+9）k=0，

可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣ ．

則PQ過定點(diǎn)（0，﹣ ）

【解析】（1）求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得橢圓的c，由A點(diǎn)，可得b，求得a，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為﹣ ，直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，k換為﹣ ，可得Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的斜率，以及方程，整理可得恒過定點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．