Question

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)任作直線，設(shè)交于，兩點(diǎn)（異于的左、右頂點(diǎn)），再分別過點(diǎn)，作的切線，，記與相交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：點(diǎn)在一條定直線上.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】(1)根據(jù)離心率和b，可求出a,c的值.

(2) 解本題的關(guān)鍵是，

=……=

然后借助韋達(dá)定理解決即可.

解：（1）由題意，得，，…2分 

又，                  ………4分                

解得，，             ………5分

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；………6分  

（2）當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在軸上方，即時(shí)，，

則，            ………………………8分

再由橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)在軸下方，，即時(shí)，仍有.

因此橢圓在點(diǎn)的切線的斜率.     …………………10分

①當(dāng)直線軸時(shí)，，，從而切線，的方程分別為

，，則點(diǎn)；   ……………11分

②當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)，

由，消去，得，

則，.                             ……………13分

于是，

從而方程可化為，而，所以.

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為，這表明點(diǎn)恒在直線上.            ………………15分.