Question

5．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知CA⊥CB，CA=CB=1，AA₁=2，且棱AA₁和A₁B₁的中點分別是M，N．
（1）求BM的長；
（2）求直線A₁B和直線B₁C夾角的余弦值；
（3）求證：直線A₁B⊥直線C₁N．

Answer 1

分析 （1）以C為原點建立空間坐標系，求出$\overrightarrow{BM}$的坐標，則BM=|$\overrightarrow{BM}$|；
（2）計算$\overrightarrow{{A}_{1}B}$和$\overrightarrow{{B}_{1}C}$的坐標，計算cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞即可得出直線A₁B和直線B₁C夾角的余弦值；
（3）通過計算得出$\overrightarrow{{C}_{1}N}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，從而得出直線A₁B⊥直線C₁N．

解答 解：（1）以C為原點，以CA，CB，CC₁為坐標軸建立空間直角坐標系C-xyz，
則M（1，0，1），B（0，1，0），∴$\overrightarrow{BM}$=（1，-1，1）．
∴BM=|$\overrightarrow{BM}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-1，-2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}C}$=-1+4=3，|$\overrightarrow{{A}_{1}B}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴直線A₁B和直線B₁C夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
（3）證明：∵A₁（1，0，2），B₁（0，1，2），N是A₁B₁的中點，
∴N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}N}$=-1×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{2}$-2×0=0，
∴直線A₁B⊥直線C₁N．

點評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，選取合理的坐標系求出各對應向量的坐標是解題關鍵，屬于中檔題．