Question

（Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知某點(diǎn)P（x₀，y₀），直線l：Ax+By+C=0．求證：點(diǎn)P到直線l的距離d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．
（Ⅱ）已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若向量

AB

| AB |

在向量

OF

上的投影為n，且(

OA

•

OB

)n2=-2，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分類討論，利用構(gòu)造直角三角形的方法，可以證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，與已知矛盾，設(shè)直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，借助于(

OA

•

OB

)n2=-2，可得直線的斜率，從而可得直線l的方程．

解答：（Ⅰ）證明：當(dāng)A=0，B≠0時(shí)，直線l：y=-

C

B

，點(diǎn)P到直線l的距離d=|

C

B

+y₀|；
當(dāng)A≠0，B=0時(shí)，直線l：x=-

C

A

，點(diǎn)P到直線l的距離d=|

C

A

+x₀|
當(dāng)AB≠0時(shí)，如圖，則R（-

B

A

y0-

C

A

，y₀），S（x0，-

A

B

x0-

C

B

）
∴PR=|

Ax0+By0+C

A

|，PS=|

Ax0+By0+C

B

|
PQ是直角△PRS斜邊上的高，由三角形面積公式可得PQ=

PR•PS

RS

=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

綜上知，點(diǎn)P到直線l的距離d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．
（Ⅱ）解：當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，與已知矛盾；
故可設(shè)直線方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

y=k(x-2) y2=4x

，∴ky²-4y-8k=0
∴y1y2=-8，y1+y2=

4

k

．
代入拋物線方程可得：x1x2=

(y1y2)2

16

=4，x1+x2=

y12+y22

4

∵(

OA

•

OB

)n2=-2，∴cos²θ（x₁x₂+y₁y₂）=-2
∴

cos2θ

sin2θ+cos2θ

×(-4)=

1

1+tan2θ

×(-4)=-2，
解得tanθ=k=±1
∴l(xiāng)：x±y-2=0

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)到直線距離的證明，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．